本片從證明了費(fèi)瑪最后定理的安德魯?懷爾斯 Andrew Wiles開始談起，描述了 Fermats Last Theorm 的歷史始末，往前回溯來看，1994年正是我在念大學(xué)的時(shí)候，當(dāng)時(shí)完全沒有一位教授在課堂上提到這件事，也許他們認(rèn)為，一位真正的研究者，自然而然地會(huì)被數(shù)學(xué)吸引，然而對(duì)一位不是天才的學(xué)生來說，他需要的是老師的指引，引導(dǎo)他走向更高深的專業(yè)認(rèn)知，而指引的道路，就在科普的精神上。 　　從費(fèi)瑪最后定理的歷史中可以發(fā)現(xiàn)，有許多研究成果，都是研究人員燃燒熱情，試圖提出「有趣」的命題，然后再嘗試用邏輯驗(yàn)證。 　　費(fèi)瑪最后定理：xn+yn=zn 當(dāng) n>2 時(shí)，不存在整數(shù)解 　　1. 1963年 安德魯?懷爾斯 Andrew Wiles被埃里克?坦普爾?貝爾 Eric Temple Bell 的一本書吸引，「最后問題 The Last Problem」，故事從這里開始。 　　2. 畢達(dá)哥拉斯 Pythagoras 定理，任一個(gè)直角三角形，斜邊的平方=另外兩邊的平方和 　　x2+y2=z2 　　畢達(dá)哥拉斯三元組：畢氏定理的整數(shù)解 　　3. 費(fèi)瑪 Fermat 在研究丟番圖 Diophantus 的「算數(shù)」第2卷的問題8時(shí)，在頁邊寫下了注記 　　「不可能將一個(gè)立方數(shù)寫成兩個(gè)立方數(shù)之和；或者將一個(gè)四次冪寫成兩個(gè)四次冪之和；或者，總的來說，不可能將一個(gè)高於2次冪，寫成兩個(gè)同樣次冪的和。」 　　「對(duì)這個(gè)命題我有一個(gè)十分美妙的證明，這里空白太小，寫不下。」 　　4. 1670年，費(fèi)瑪 Fermat的兒子出版了載有Fermat注記的「丟番圖的算數(shù)」 　　5. 在Fermat的其他注記中，隱含了對(duì) n=4 的證明 => n=8, 12, 16, 20 ... 時(shí)無解 　　萊昂哈德?歐拉 Leonhard Euler 證明了 n=3 時(shí)無解 => n=6, 9, 12, 15 ... 時(shí)無解 　　3是質(zhì)數(shù)，現(xiàn)在只要證明費(fèi)瑪最后定理對(duì)於所有的質(zhì)數(shù)都成立 　　但 歐基里德 證明「存在無窮多個(gè)質(zhì)數(shù)」 　　6. 1776年 索菲?熱爾曼 針對(duì) (2p+1)的質(zhì)數(shù)，證明了 費(fèi)瑪最后定理 "大概" 無解 　　7. 1825年 古斯塔夫?勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-瑪利埃?勒讓德 延伸熱爾曼的證明，證明了 n=5 無解 　　8. 1839年 加布里爾?拉梅 Gabriel Lame 證明了 n=7 無解 　　9. 1847年 拉梅 與 奧古斯汀?路易斯?科西 Augusti Louis Cauchy 同時(shí)宣稱已經(jīng)證明了 費(fèi)瑪最后定理 　　最后是劉維爾宣讀了 恩斯特?庫默爾 Ernst Kummer 的信，說科西與拉梅的證明，都因?yàn)椤柑摂?shù)沒有唯一因子分解性質(zhì)」而失敗 　　庫默爾證明了 費(fèi)瑪最后定理的完整證明 是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)方法不可能實(shí)現(xiàn)的 　　10.1908年 保羅?沃爾夫斯凱爾 Paul Wolfskehl 補(bǔ)救了庫默爾的證明 　　這表示 費(fèi)瑪最后定理的完整證明 尚未被解決 　　沃爾夫斯凱爾提供了 10萬馬克 給提供證明的人，期限是到2007年9月13日止 　　11.1900年8月8日 大衛(wèi)?希爾伯特，提出數(shù)學(xué)上23個(gè)未解決的問題且相信這是迫切需要解決的重要問題 　　12.1931年 庫特?哥德爾 不可判定性定理 　　第一不可判定性定理：如果公理集合論是相容的，那么存在既不能證明又不能否定的定理。 　　=> 完全性是不可能達(dá)到的 　　第二不可判定性定理：不存在能證明公理系統(tǒng)是相容的構(gòu)造性過程。 　　=> 相容性永遠(yuǎn)不可能證明 　　13.1963年 保羅?科恩 Paul Cohen 發(fā)展了可以檢驗(yàn)給定問題是不是不可判定的方法（只適用少數(shù)情形） 　　證明希爾伯特23個(gè)問題中，其中一個(gè)「連續(xù)統(tǒng)假設(shè)」問題是不可判定的，這對(duì)於費(fèi)瑪最后定理來說是一大打擊 　　14.1940年 阿倫?圖靈 Alan Turing 發(fā)明破譯 Enigma編碼 的反轉(zhuǎn)機(jī) 　　開始有人利用暴力解決方法，要對(duì) 費(fèi)瑪最后定理 的n值一個(gè)一個(gè)加以證明。 　　15.1988年 內(nèi)奧姆?埃爾基斯 Naom Elkies 對(duì)於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解這個(gè)推想，找到了一個(gè)反例 　　26824404+153656394+1879604=206156734 　　16.1975年 安德魯?懷爾斯 Andrew Wiles 師承 約翰?科次，研究橢圓曲線 　　研究橢圓曲線的目的是要算出他們的整數(shù)解，這跟費(fèi)瑪最后定理一樣 　　ex: y2=x3-2 只有一組整數(shù)解 52=33-2 　　(費(fèi)瑪證明宇宙中指存在一個(gè)數(shù)26，他是夾在一個(gè)平方數(shù)與一個(gè)立方數(shù)中間) 　　由於要直接找出橢圓曲線是很困難的，為了簡化問題，數(shù)學(xué)家采用「時(shí)鐘運(yùn)算」方法 　　在五格時(shí)鐘運(yùn)算中， 4+2=1 　　橢圓方程式 x3-x2=y2+y 　　所有可能的解為 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 來代表在五格時(shí)鐘運(yùn)算中，有四個(gè)解 　　對(duì)於橢圓曲線，可寫出一個(gè) E序列 E1=1, E2=4, ..... 　　17.1954年 至村五郎 與 谷山豐 研究具有非同尋常的對(duì)稱性的 modular form 模型式 　　模型式的要素可從1開始標(biāo)號(hào)到無窮（M1, M2, M3, ...） 　　每個(gè)模型式的 M序列 要素個(gè)數(shù) 可寫成 M1=1 M2=3 .... 這樣的范例 　　1955年9月 提出模型式的 M序列 可以對(duì)應(yīng)到橢圓曲線的 E序列，兩個(gè)不同領(lǐng)域的理論突然被連接在一起 　　安德列?韋依 采納這個(gè)想法，「谷山-志村猜想」 　　18.朗蘭茲提出「朗蘭茲綱領(lǐng)」的計(jì)畫，一個(gè)統(tǒng)一化猜想的理論，并開始尋找統(tǒng)一的環(huán)鏈 　　19.1984年 格哈德?弗賴 Gerhard Frey 提出 　　(1) 假設(shè)費(fèi)瑪最后定理是錯(cuò)的，則 xn+yn=zn 有整數(shù)解，則可將方程式轉(zhuǎn)換為y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 這樣的橢圓方程式 　　(2) 弗賴橢圓方程式太古怪了，以致於無法被模型式化 　　(3) 谷山-志村猜想 斷言每一個(gè)橢圓方程式都可以被模型式化 　　(4) 谷山-志村猜想 是錯(cuò)誤的 　　反過來說 　　(1) 如果 谷山-志村猜想 是對(duì)的，每一個(gè)橢圓方程式都可以被模型式化 　　(2) 每一個(gè)橢圓方程式都可以被模型式化，則不存在弗賴橢圓方程式 　　(3) 如果不存在弗賴橢圓方程式，那么xn+yn=zn 沒有整數(shù)解 　　(4) 費(fèi)瑪最后定理是對(duì)的 　　20.1986年 肯?貝里特 證明 弗賴橢圓方程式無法被模型式化 　　如果有人能夠證明谷山-志村猜想，就表示費(fèi)瑪最后定理也是正確的 　　21.1986年 安德魯?懷爾斯 Andrew Wiles 開始一個(gè)小陰謀，他每隔6個(gè)月發(fā)表一篇小論文，然后自己獨(dú)力嘗試證明谷山-志村猜想，策略是利用歸納法，加上 埃瓦里斯特?伽羅瓦 的群論，希望能將E序列以「自然次序」一一對(duì)應(yīng)到M序列 　　22.1988年 宮岡洋一 發(fā)表利用微分幾何學(xué)證明谷山-志村猜想，但結(jié)果失敗 　　23.1989年 安德魯?懷爾斯 Andrew Wiles 已經(jīng)將橢圓方程式拆解成無限多項(xiàng)，然后也證明了第一項(xiàng)必定是模型式的第一項(xiàng)，也嘗試?yán)?依娃沙娃 Iwasawa 理論，但結(jié)果失敗 　　24.1992年 修改 科利瓦金-弗萊契 方法，對(duì)所有分類后的橢圓方程式都奏效 　　25.1993年 尋求同事 尼克?凱茲 Nick Katz 的協(xié)助，開始對(duì)驗(yàn)證證明 　　26.1993年5月 「L-函數(shù)和算術(shù)」會(huì)議，安德魯?懷爾斯 Andrew Wiles 發(fā)表谷山-志村猜想的證明 　　27.1993年9月 尼克?凱茲 Nick Katz 發(fā)現(xiàn)一個(gè)重大缺陷 　　安德魯?懷爾斯 Andrew Wiles 又開始隱居，嘗試獨(dú)力解決缺陷，他不希望在這時(shí)候公布證明，讓其他人分享完成證明的甜美果實(shí) 　　28.安德魯?懷爾斯 Andrew Wiles 在接近放棄的邊緣，在彼得?薩納克的建議下，找到理查德?泰勒的協(xié)助 　　29.1994年9月19日 發(fā)現(xiàn)結(jié)合 依娃沙娃 Iwasawa 理論與 科利瓦金-弗萊契 方法就能夠完全解決問題 　　30.「谷山-志村猜想」被證明了，故得證「費(fèi)瑪最后定理」 　　ii 　　費(fèi)馬大定理 　　300多年以前，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在一本書的空白處寫下了一個(gè)定理：“設(shè)n是大于2的正整數(shù)，則不定方程xn+yn=zn沒有非零整數(shù)解”。 　　費(fèi)馬宣稱他發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理的一個(gè)真正奇妙的證明，但因書上空白太小，他寫不下他的證明。300多年過去了，不知有多少專業(yè)數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者絞盡腦汁企圖證明它，但不是無功而返就是進(jìn)展甚微。這就是純數(shù)學(xué)中最著名的定理—費(fèi)馬大定理。 　　費(fèi)馬(1601年～1665年)是一位具有傳奇色彩的數(shù)學(xué)家，他最初學(xué)習(xí)法律并以當(dāng)律師謀生，后來成為議會(huì)議員，數(shù)學(xué)只不過是他的業(yè)余愛好，只能利用閑暇來研究。雖然年近30才認(rèn)真注意數(shù)學(xué)，但費(fèi)馬對(duì)數(shù)論和微積分做出了第一流的貢獻(xiàn)。他與笛卡兒幾乎同時(shí)創(chuàng)立了解析幾何，同時(shí)又是17世紀(jì)興起的概率論的探索者之一。費(fèi)馬特別愛好數(shù)論，提出了許多定理，但費(fèi)馬只對(duì)其中一個(gè)定理給出了證明要點(diǎn)，其他定理除一個(gè)被證明是錯(cuò)的，一個(gè)未被證明外，其余的陸續(xù)被后來的數(shù)學(xué)家所證實(shí)。這唯一未被證明的定理就是上面所說的費(fèi)馬大定理，因?yàn)槭亲詈笠粋€(gè)未被證明對(duì)或錯(cuò)的定理，所以又稱為費(fèi)馬最后定理。 　　費(fèi)馬大定理雖然至今仍沒有完全被證明，但已經(jīng)有了很大進(jìn)展，特別是最近幾十年，進(jìn)展更快。1976年瓦格斯塔夫證明了對(duì)小于105的素?cái)?shù)費(fèi)馬大定理都成立。1983年一位年輕的德國數(shù)學(xué)家法爾廷斯證明了不定方程xn+yn=zn?只能有有限多組解，他的突出貢獻(xiàn)使他在1986年獲得了數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng)之一費(fèi)爾茲獎(jiǎng)。1993年英國數(shù)學(xué)家威爾斯宣布證明了費(fèi)馬大定理，但隨后發(fā)現(xiàn)了證明中的一個(gè)漏洞并作了修正。雖然威爾斯證明費(fèi)馬大定理還沒有得到數(shù)學(xué)界的一致公認(rèn)，但大多數(shù)數(shù)學(xué)家認(rèn)為他證明的思路是正確的。毫無疑問，這使人們看到了希望。 　　為了尋求費(fèi)馬大定理的解答，三個(gè)多世紀(jì)以來，一代又一代的數(shù)學(xué)家們前赴后繼，卻壯志未酬。1995年，美國普林斯頓大學(xué)的安德魯·懷爾斯教授經(jīng)過8年的孤軍奮戰(zhàn)，用13 　　0頁長的篇幅證明了費(fèi)馬大定理。懷爾斯成為整個(gè)數(shù)學(xué)界的英雄。 　　費(fèi)馬大定理提出的問題非常簡單，它是用一個(gè)每個(gè)中學(xué)生都熟悉的數(shù)學(xué)定理——畢達(dá) 　　哥拉斯定理——來表達(dá)的。2000多年前誕生的畢達(dá)哥拉斯定理說：在一個(gè)直角三角形中， 　　斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大約在公元1637年前后 ，當(dāng)費(fèi)馬在 　　研究畢達(dá)哥拉斯方程時(shí)，他寫下一個(gè)方程，非常類似于畢達(dá)哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,當(dāng)n 　　大于2時(shí)，這個(gè)方程沒有任何整數(shù)解。費(fèi)馬在《算術(shù)》這本書的靠近問題8的頁邊處記下這 　　個(gè)結(jié)論的同時(shí)又寫下一個(gè)附加的評(píng)注：“對(duì)此，我確信已發(fā)現(xiàn)一個(gè)美妙的證法，這里的空 　　白太小，寫不下。”這就是數(shù)學(xué)史上著名的費(fèi)馬大定理或稱費(fèi)馬最后的定理。費(fèi)馬制造了 　　一個(gè)數(shù)學(xué)史上最深?yuàn)W的謎。 　　大問題 　　在物理學(xué)、化學(xué)或生物學(xué)中，還沒有任何問題可以敘述得如此簡單和清晰，卻長久不 　　解。E·T·貝爾(Eric Temple Bell)在他的《大問題》(The Last Problem)一書中寫到， 　　文明世界也許在費(fèi)馬大定理得以解決之前就已走到了盡頭。證明費(fèi)馬大定理成為數(shù)論中最 　　值得為之奮斗的事。 　　安德魯·懷爾斯1953年出生在英國劍橋，父親是一位工程學(xué)教授。少年時(shí)代的懷爾斯 　　已著迷于數(shù)學(xué)了。他在后來的回憶中寫到：“在學(xué)校里我喜歡做題目，我把它們帶回家， 　　編寫成我自己的新題目。不過我以前找到的最好的題目是在我們社區(qū)的圖書館里發(fā)現(xiàn)的。 　　”一天，小懷爾斯在彌爾頓街上的圖書館看見了一本書，這本書只有一個(gè)問題而沒有解答 　　,懷爾斯被吸引住了。 　　這就是E·T·貝爾寫的《大問題》。它敘述了費(fèi)馬大定理的歷史，這個(gè)定理讓一個(gè)又 　　一個(gè)的數(shù)學(xué)家望而生畏，在長達(dá)300多年的時(shí)間里沒有人能解決它。懷爾斯30多年后回憶 　　起被引向費(fèi)馬大定理時(shí)的感覺：“它看上去如此簡單，但歷史上所有的大數(shù)學(xué)家都未能解 　　決它。這里正擺著我——一個(gè)10歲的孩子——能理解的問題，從那個(gè)時(shí)刻起，我知道我永 　　遠(yuǎn)不會(huì)放棄它。我必須解決它。” 　　懷爾斯1974年從牛津大學(xué)的Merton學(xué)院獲得數(shù)學(xué)學(xué)士學(xué)位，之后進(jìn)入劍橋大學(xué)Clare 　　學(xué)院做博士。在研究生階段，懷爾斯并沒有從事費(fèi)馬大定理研究。他說：“研究費(fèi)馬可能 　　帶來的問題是：你花費(fèi)了多年的時(shí)間而最終一事無成。我的導(dǎo)師約翰·科茨(John Coate 　　s)正在研究橢圓曲線的Iwasawa理論，我開始跟隨他工作。” 科茨說：“我記得一位同事 　　告訴我，他有一個(gè)非常好的、剛完成數(shù)學(xué)學(xué)士榮譽(yù)學(xué)位第三部考試的學(xué)生，他催促我收其 　　為學(xué)生。我非常榮幸有安德魯這樣的學(xué)生。即使從對(duì)研究生的要求來看，他也有很深刻的 　　思想，非常清楚他將是一個(gè)做大事情的數(shù)學(xué)家。當(dāng)然，任何研究生在那個(gè)階段直接開始研 　　究費(fèi)馬大定理是不可能的，即使對(duì)資歷很深的數(shù)學(xué)家來說，它也太困難了。”科茨的責(zé)任 　　是為懷爾斯找到某種至少能使他在今后三年里有興趣去研究的問題。他說：“我認(rèn)為研究 　　生導(dǎo)師能為學(xué)生做的一切就是設(shè)法把他推向一個(gè)富有成果的方向。當(dāng)然，不能保證它一定 　　是一個(gè)富有成果的研究方向，但是也許年長的數(shù)學(xué)家在這個(gè)過程中能做的一件事是使用他 　　的常識(shí)、他對(duì)好領(lǐng)域的直覺。然后，學(xué)生能在這個(gè)方向上有多大成績就是他自己的事了。 　　” 　　科茨決定懷爾斯應(yīng)該研究數(shù)學(xué)中稱為橢圓曲線的領(lǐng)域。這個(gè)決定成為懷爾斯職業(yè)生涯中的 　　一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，橢圓方程的研究是他實(shí)現(xiàn)夢想的工具。 　　孤獨(dú)的戰(zhàn)士 　　1980年懷爾斯在劍橋大學(xué)取得博士學(xué)位后來到了美國普林斯頓大學(xué)，并成為這所大學(xué) 　　的教授。在科茨的指導(dǎo)下，懷爾斯或許比世界上其他人都更懂得橢圓方程，他已經(jīng)成為一 　　個(gè)著名的數(shù)論學(xué)家，但他清楚地意識(shí)到，即使以他廣博的基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)修養(yǎng)，證明費(fèi)馬 　　大定理的任務(wù)也是極為艱巨的。 　　在懷爾斯的費(fèi)馬大定理的證明中，核心是證明“谷山－志村猜想”，該猜想在兩個(gè)非 　　常不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域間建立了一座新的橋梁。“那是1986年夏末的一個(gè)傍晚，我正在一個(gè)朋 　　友家中啜飲冰茶。談話間他隨意告訴我，肯·里貝特已經(jīng)證明了谷山－志村猜想與費(fèi)馬大 　　定理間的聯(lián)系。我感到極大的震動(dòng)。我記得那個(gè)時(shí)刻，那個(gè)改變我生命歷程的時(shí)刻，因?yàn)? 　　這意味著為了證明費(fèi)馬大定理，我必須做的一切就是證明谷山－志村猜想……我十分清楚 　　我應(yīng)該回家去研究谷山－志村猜想。”懷爾斯望見了一條實(shí)現(xiàn)他童年夢想的道路。 　　20世紀(jì)初，有人問偉大的數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特為什么不去嘗試證明費(fèi)馬大定理，他 　　回答說：“在開始著手之前，我必須用3年的時(shí)間作深入的研究，而我沒有那么多的時(shí)間 　　浪費(fèi)在一件可能會(huì)失敗的事情上。”懷爾斯知道，為了找到證明，他必須全身心地投入到 　　這個(gè)問題中，但是與希爾伯特不一樣，他愿意冒這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)。 　　懷爾斯作了一個(gè)重大的決定：要完全獨(dú)立和保密地進(jìn)行研究。他說：“我意識(shí)到與費(fèi) 　　馬大定理有關(guān)的任何事情都會(huì)引起太多人的興趣。你確實(shí)不可能很多年都使自己精力集中 　　，除非你的專心不被他人分散，而這一點(diǎn)會(huì)因旁觀者太多而做不到。”懷爾斯放棄了所有 　　與證明費(fèi)馬大定理無直接關(guān)系的工作，任何時(shí)候只要可能他就回到家里工作，在家里的頂 　　樓書房里他開始了通過谷山－志村猜想來證明費(fèi)馬大定理的戰(zhàn)斗。 　　這是一場長達(dá)7年的持久戰(zhàn)，這期間只有他的妻子知道他在證明費(fèi)馬大定理。 　　歡呼與等待 　　經(jīng)過7年的努力，懷爾斯完成了谷山－志村猜想的證明。作為一個(gè)結(jié)果，他也證明了 　　費(fèi)馬大定理。現(xiàn)在是向世界公布的時(shí)候了。1993年6月底，有一個(gè)重要的會(huì)議要在劍橋大 　　學(xué)的牛頓研究所舉行。懷爾斯決定利用這個(gè)機(jī)會(huì)向一群杰出的聽眾宣布他的工作。他選擇 　　在牛頓研究所宣布的另外一個(gè)主要原因是劍橋是他的家鄉(xiāng)，他曾經(jīng)是那里的一名研究生。 　　1993年6月23日，牛頓研究所舉行了20世紀(jì)最重要的一次數(shù)學(xué)講座。兩百名數(shù)學(xué)家聆 　　聽了這一演講，但他們之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希臘字母和代數(shù)式所表達(dá) 　　的意思。其余的人來這里是為了見證他們所期待的一個(gè)真正具有意義的時(shí)刻。演講者是安 　　德魯·懷爾斯。懷爾斯回憶起演講最后時(shí)刻的情景：“雖然新聞界已經(jīng)刮起有關(guān)演講的風(fēng) 　　聲，很幸運(yùn)他們沒有來聽演講。但是聽眾中有人拍攝了演講結(jié)束時(shí)的鏡頭，研究所所長肯 　　定事先就準(zhǔn)備了一瓶香檳酒。當(dāng)我宣讀證明時(shí)，會(huì)場上保持著特別莊重的寂靜，當(dāng)我寫完 　　費(fèi)馬大定理的證明時(shí)，我說：‘我想我就在這里結(jié)束’，會(huì)場上爆發(fā)出一陣持久的鼓掌聲 　　。” 　　《紐約時(shí)報(bào)》在頭版以《終于歡呼“我發(fā)現(xiàn)了!”，久遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)之謎獲解》為題報(bào)道 　　費(fèi)馬大定理被證明的消息。一夜之間，懷爾斯成為世界上最著名的數(shù)學(xué)家，也是唯一的數(shù) 　　學(xué)家。《人物》雜志將懷爾斯與戴安娜王妃一起列為“本年度25位最具魅力者”。最有創(chuàng) 　　意的贊美來自一家國際制衣大公司，他們邀請(qǐng)這位溫文爾雅的天才作他們新系列男裝的模 　　特。 　　當(dāng)懷爾斯成為媒體報(bào)道的中心時(shí)，認(rèn)真核對(duì)這個(gè)證明的工作也在進(jìn)行。科學(xué)的程序要 　　求任何數(shù)學(xué)家將完整的手稿送交一個(gè)有聲望的刊物，然后這個(gè)刊物的編輯將它送交一組審 　　稿人，審稿人的職責(zé)是進(jìn)行逐行的審查證明。懷爾斯將手稿投到《數(shù)學(xué)發(fā)明》，整整一個(gè) 　　夏天他焦急地等待審稿人的意見，并祈求能得到他們的祝福。可是，證明的一個(gè)缺陷被發(fā) 　　現(xiàn)了。 　　我的心靈歸于平靜 　　由于懷爾斯的論文涉及到大量的數(shù)學(xué)方法，編輯巴里·梅休爾決定不像通常那樣指定 　　2－3個(gè)審稿人，而是6個(gè)審稿人。200頁的證明被分成6章，每位審稿人負(fù)責(zé)其中一章。 　　懷爾斯在此期間中斷了他的工作，以處理審稿人在電子郵件中提出的問題，他自信這 　　些問題不會(huì)給他造成很大的麻煩。尼克·凱茲負(fù)責(zé)審查第3章，1993年8月23日，他發(fā)現(xiàn)了 　　證明中的一個(gè)小缺陷。數(shù)學(xué)的絕對(duì)主義要求懷爾斯無可懷疑地證明他的方法中的每一步都 　　行得通。懷爾斯以為這又是一個(gè)小問題，補(bǔ)救的辦法可能就在近旁，可是6個(gè)多月過去了 　　，錯(cuò)誤仍未改正，懷爾斯面臨絕境，他準(zhǔn)備承認(rèn)失敗。他向同事彼得·薩克說明自己的情 　　況，薩克向他暗示困難的一部分在于他缺少一個(gè)能夠和他討論問題并且可信賴的人。經(jīng)過 　　長時(shí)間的考慮后，懷爾斯決定邀請(qǐng)劍橋大學(xué)的講師理查德·泰勒到普林斯頓和他一起工作 　　。 　　泰勒1994年1月份到普林斯頓，可是到了9月，依然沒有結(jié)果，他們準(zhǔn)備放棄了。泰勒 　　鼓勵(lì)他們?cè)賵?jiān)持一個(gè)月。懷爾斯決定在9月底作最后一次檢查。9月19日，一個(gè)星期一的早 　　晨，懷爾斯發(fā)現(xiàn)了問題的答案，他敘述了這一時(shí)刻：“突然間，不可思議地，我有了一個(gè) 　　難以置信的發(fā)現(xiàn)。這是我的事業(yè)中最重要的時(shí)刻，我不會(huì)再有這樣的經(jīng)歷……它的美是如 　　此地難以形容；它又是如此簡單和優(yōu)美。20多分鐘的時(shí)間我呆望它不敢相信。然后白天我 　　到系里轉(zhuǎn)了一圈，又回到桌子旁看看它是否還在——它還在那里。” 　　這是少年時(shí)代的夢想和8年潛心努力的終極，懷爾斯終于向世界證明了他的才能。世 　　界不再懷疑這一次的證明了。這兩篇論文總共有130頁，是歷史上核查得最徹底的數(shù)學(xué)稿 　　件，它們發(fā)表在1995年5月的《數(shù)學(xué)年刊》上。懷爾斯再一次出現(xiàn)在《紐約時(shí)報(bào)》的頭版 　　上，標(biāo)題是《數(shù)學(xué)家稱經(jīng)典之謎已解決》。約翰·科茨說：“用數(shù)學(xué)的術(shù)語來說，這個(gè)最 　　終的證明可與分裂原子或發(fā)現(xiàn)DNA的結(jié)構(gòu)相比，對(duì)費(fèi)馬大定理的證明是人類智力活動(dòng)的一 　　曲凱歌，同時(shí)，不能忽視的事實(shí)是它一下子就使數(shù)學(xué)發(fā)生了革命性的變化。對(duì)我說來，安 　　德魯成果的美和魅力在于它是走向代數(shù)數(shù)論的巨大的一步。” 　　聲望和榮譽(yù)紛至沓來。1995年，懷爾斯獲得瑞典皇家學(xué)會(huì)頒發(fā)的Schock數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，199 　　6年，他獲得沃爾夫獎(jiǎng)，并當(dāng)選為美國科學(xué)院外籍院士。 　　懷爾斯說：“……再?zèng)]有別的問題能像費(fèi)馬大定理一樣對(duì)我有同樣的意義。我擁有如 　　此少有的特權(quán)，在我的成年時(shí)期實(shí)現(xiàn)我童年的夢想……那段特殊漫長的探索已經(jīng)結(jié)束了， 　　我的心已歸于平靜。” 　　費(fèi)馬大定理只有在相對(duì)數(shù)學(xué)理論的建立之后，才會(huì)得到最滿意的答案。相對(duì)數(shù)學(xué)理論沒有完成之前，談這個(gè)問題是無力地.因?yàn)槿藗儗?duì)數(shù)量和自身的認(rèn)識(shí)，還沒有達(dá)到一定的高度. 　　iii 　　費(fèi)馬大定理與懷爾斯的因果律-美國公眾廣播網(wǎng)對(duì)懷爾斯的專訪 　　358年的難解之謎 　　數(shù)學(xué)愛好者費(fèi)馬提出的這個(gè)問題非常簡單，它用一個(gè)每個(gè)中學(xué)生都熟悉的數(shù)學(xué)定理——畢達(dá)哥拉斯定理來表達(dá)。2000多年前誕生的畢達(dá)哥拉斯定理說：在一個(gè)直角三角形中，斜邊的平方等于兩個(gè)直角邊的平方之和。即X2+Y2=Z2。大約在公元1637年前后 ，當(dāng)費(fèi)馬在研究畢達(dá)哥拉斯方程時(shí)，他在《算術(shù)》這本書靠近問題8的頁邊處寫下了這段文字：“設(shè)n是大于2的正整數(shù)，則不定方程xn+yn=zn沒有非整數(shù)解，對(duì)此，我確信已發(fā)現(xiàn)一個(gè)美妙的證法，但這里的空白太小，寫不下。”費(fèi)馬習(xí)慣在頁邊寫下猜想，費(fèi)馬大定理是其中困擾數(shù)學(xué)家們時(shí)間最長的，所以被稱為Fermat’s Last Theorem（費(fèi)馬最后的定理）——公認(rèn)為有史以來最著名的數(shù)學(xué)猜想。 　　在暢銷書作家西蒙·辛格（Simon Singh）的筆下，這段神秘留言引發(fā)的長達(dá)358年的獵逐充滿了驚險(xiǎn)、懸疑、絕望和狂喜。這段歷史先后涉及到最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)大師歐拉、最偉大的數(shù)學(xué)家高斯、由業(yè)余轉(zhuǎn)為職業(yè)數(shù)學(xué)家的柯西、英年早逝的天才伽羅瓦、理論兼試驗(yàn)大師庫默爾和被譽(yù)為“法國歷史上知識(shí)最為高深的女性”的蘇菲·姬爾曼……法國數(shù)學(xué)天才伽羅瓦的遺言、日本數(shù)學(xué)界的明日之星谷山豐的神秘自殺、德國數(shù)學(xué)愛好者保羅·沃爾夫斯凱爾最后一刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥間上帝導(dǎo)演的宏大戲劇中的一幕，為最后謎底的解開埋下伏筆。終于，普林斯頓的懷爾斯出現(xiàn)了。他找到謎底，把這出戲推向高潮并戛然而止，留下一段耐人回味的傳奇。 　　對(duì)懷爾斯而言，證明費(fèi)馬大定理不僅是破譯一個(gè)難解之謎，更是去實(shí)現(xiàn)一個(gè)兒時(shí)的夢想。“我10歲時(shí)在圖書館找到一本數(shù)學(xué)書，告訴我有這么一個(gè)問題，300多年前就已經(jīng)有人解決了它，但卻沒有人看到過它的證明，也無人確信是否有這個(gè)證明，從那以后，人們就不斷地求證。這是一個(gè)10歲小孩就能明白的問題，然后歷史上諸多偉大的數(shù)學(xué)家們卻不能解答。于是從那時(shí)起，我就試過解決它，這個(gè)問題就是費(fèi)馬大定理。” 　　懷爾斯于1970年先后在牛津大學(xué)和劍橋大學(xué)獲得數(shù)學(xué)學(xué)士和數(shù)學(xué)博士學(xué)位。“我進(jìn)入劍橋時(shí)，我真正把費(fèi)馬大定理擱在一邊了。這不是因?yàn)槲彝怂俏艺J(rèn)識(shí)到我們所掌握的用來攻克它的全部技術(shù)已經(jīng)反復(fù)使用了130年。而這些技術(shù)似乎沒有觸及問題根本。”因?yàn)閾?dān)心耗費(fèi)太多時(shí)間而一無所獲，他“暫時(shí)放下了”對(duì)費(fèi)馬大定理的思索，開始研究橢圓曲線理論——這個(gè)看似與證明費(fèi)馬大定理不相關(guān)的理論后來卻成為他實(shí)現(xiàn)夢想的工具。 　　時(shí)間回溯至20世紀(jì)60年代，普林斯頓數(shù)學(xué)家朗蘭茲提出了一個(gè)大膽的猜想：所有主要數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間原本就存在著的統(tǒng)一的鏈接。如果這個(gè)猜想被證實(shí)，意味著在某個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中無法解答的任何問題都有可能通過這種鏈接被轉(zhuǎn)換成另一個(gè)領(lǐng)域中相應(yīng)的問題——可以被一整套新方案解決的問題。而如果在另一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)仍然難以找到答案，那么可以把問題再轉(zhuǎn)換到下一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中……直到它被解決為止。根據(jù)朗蘭茲綱領(lǐng)，有一天，數(shù)學(xué)家們將能夠解決曾經(jīng)是最深?yuàn)W最難對(duì)付的問題——“辦法是領(lǐng)著這些問題周游數(shù)學(xué)王國的各個(gè)風(fēng)景勝地”。這個(gè)綱領(lǐng)為飽受哥德爾不完備定理打擊的費(fèi)馬大定理證明者們指明了救贖之路——根據(jù)不完備定理，費(fèi)馬大定理是不可證明的。 　　懷爾斯后來正是依賴于這個(gè)綱領(lǐng)才得以證明費(fèi)馬大定理的：他的證明——不同于任何前人的嘗試——是現(xiàn)代數(shù)學(xué)諸多分支（橢圓曲線論，模形式理論，伽羅華表示理論等等)綜合發(fā)揮作用的結(jié)果。20世紀(jì)50年代由兩位日本數(shù)學(xué)家（谷山豐和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：橢圓方程與模形式兩個(gè)截然不同的數(shù)學(xué)島嶼間隱藏著一座溝通的橋梁。隨后在1984年，德國數(shù)學(xué)家格哈德·費(fèi)賴（Gerhard Frey）給出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，則費(fèi)馬大定理為真。這個(gè)猜想緊接著在1986年被肯·里貝特（Ken Ribet）證明。從此，費(fèi)馬大定理不可擺脫地與谷山—志村猜想鏈接在一起：如果有人能證明谷山—志村猜想（即“每一個(gè)橢圓方程都可以模形式化”），那么就證明了費(fèi)馬大定理。 　　“人類智力活動(dòng)的一曲凱歌” 　　懷爾斯詭秘的行蹤讓普林斯頓的著名數(shù)學(xué)家同事們困惑。彼得·薩奈克（Peter Sarnak）回憶說：“ 我常常奇怪懷爾斯在做些什么？……他總是靜悄悄的，也許他已經(jīng)‘黔驢技窮’了。”尼克·凱茲則感嘆到：“一點(diǎn)暗示都沒有！”對(duì)于這次驚天“大預(yù)謀”，肯·里比特（Ken Ribet)曾評(píng)價(jià)說：“這可能是我平生來見過的唯一例子，在如此長的時(shí)間里沒有泄露任何有關(guān)工作的信息。這是空前的。 　　1993年晚春，在經(jīng)過反復(fù)的試錯(cuò)和絞盡腦汁的演算，懷爾斯終于完成了谷山—志村猜想的證明。作為一個(gè)結(jié)果，他也證明了費(fèi)馬大定理。彼得·薩奈克是最早得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、異常激動(dòng)、情緒失常……我記得當(dāng)晚我失眠了”。 　　同年6月，懷爾斯決定在劍橋大學(xué)的大型系列講座上宣布這一證明。 “講座氣氛很熱烈，有很多數(shù)學(xué)界重要人物到場，當(dāng)大家終于明白已經(jīng)離證明費(fèi)馬大定理一步之遙時(shí)，空氣中充滿了緊張。” 肯·里比特回憶說。巴里·馬佐爾（Barry Mazur）永遠(yuǎn)也忘不了那一刻：“我之前從未看到過如此精彩的講座，充滿了美妙的、聞所未聞的新思想，還有戲劇性的鋪墊，充滿懸念，直到最后到達(dá)高潮。”當(dāng)懷爾斯在講座結(jié)尾宣布他證明了費(fèi)馬大定理時(shí)，他成了全世界媒體的焦點(diǎn)。《紐約時(shí)報(bào)》在頭版以《終于歡呼“我發(fā)現(xiàn)了!”久遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)之謎獲解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）為題報(bào)道費(fèi)馬大定理被證明的消息。一夜之間，懷爾斯成為世界上唯一的數(shù)學(xué)家。《人物》雜志將懷爾斯與戴安娜王妃一起列為“本年度25位最具魅力者”。 　　與此同時(shí)，認(rèn)真核對(duì)這個(gè)證明的工作也在進(jìn)行。遺憾的是，如同這之前的“費(fèi)馬大定理終結(jié)者”一樣，他的證明是有缺陷的。懷爾斯現(xiàn)在不得不在巨大的壓力之下修正錯(cuò)誤，其間數(shù)度感到絕望。John Conway曾在美國公眾廣播網(wǎng)（PBS）的訪談中說: “當(dāng)時(shí)我們其他人（懷爾斯的同事）的行為有點(diǎn)像‘蘇聯(lián)政體研究者’，都想知道他的想法和修正錯(cuò)誤的進(jìn)展，但沒有人開口問他。所以，某人會(huì)說，‘我今天早上看到懷爾斯了。’‘他露出笑容了嗎？’‘他倒是有微笑，但看起來并不高興。’” 　　撐到1994年9月時(shí)，懷爾斯準(zhǔn)備放棄了。但他臨時(shí)邀請(qǐng)的研究搭檔泰勒鼓勵(lì)他再堅(jiān)持一個(gè)月。就在截止日到來之前兩周， 9月19日 ，一個(gè)星期一的早晨，懷爾斯發(fā)現(xiàn)了問題的答案，他敘述了這一時(shí)刻：“突然間，不可思議地，我發(fā)現(xiàn)了它……它美得難以形容，簡單而優(yōu)雅。我對(duì)著它發(fā)了20多分鐘呆。然后我到系里轉(zhuǎn)了一圈，又回到桌子旁看看它是否還在那里——它確實(shí)還在那里。” 　　懷爾斯的證明為他贏得了最慷慨的褒揚(yáng)，其中最具代表性的是他在劍橋時(shí)的導(dǎo)師、著名數(shù)學(xué)家約翰·科茨的評(píng)價(jià)：“它（證明）是人類智力活動(dòng)的一曲凱歌”。 　　一場曠日持久的獵逐就此結(jié)束，從此費(fèi)馬大定理與安德魯·懷爾斯的名字緊緊地被綁在了一起，提到一個(gè)就不得不提到另外一個(gè)。這是費(fèi)馬大定理與安德魯·懷爾斯的因果律。 　　歷時(shí)八年的最終證明 　　在懷爾斯不多的接受媒體采訪中，美國公眾廣播網(wǎng)（PBS）NOVA節(jié)目對(duì)懷爾斯的專訪相當(dāng)精彩有趣，本文節(jié)選部分以饗讀者。 　　七年孤獨(dú) 　　NOVA：通常人們通過團(tuán)隊(duì)來獲得工作上的支持，那么當(dāng)你碰壁時(shí)是怎么解決問題的呢？ 　　懷爾斯：當(dāng)我被卡住時(shí)我會(huì)沿著湖邊散散步，散步的好處是使你會(huì)處于放松狀態(tài)，同時(shí)你的潛意識(shí)卻在繼續(xù)工作。通常遇到困擾時(shí)你并不需要書桌，而且我隨時(shí)把筆紙帶上，一旦有好主意我會(huì)找個(gè)長椅坐下來打草稿…… 　　NOVA：這七年一定交織著自我懷疑與成功……你不可能絕對(duì)有把握證明。 　　懷爾斯：我確實(shí)相信自己在正確的軌道上，但那并不意味著我一定能達(dá)到目標(biāo)——也許僅僅因?yàn)榻鉀Q難題的方法超出現(xiàn)有的數(shù)學(xué)，也許我需要的方法下個(gè)世紀(jì)也不會(huì)出現(xiàn)。所以即便我在正確的軌道上，我卻可能生活在錯(cuò)誤的世紀(jì)。 　　NOVA：最終在1993年，你取得了突破。 　　懷爾斯：對(duì)，那是個(gè)5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子們出去了。我坐在書桌前思考最后的步驟，不經(jīng)意間看到了一篇論文，上面的一行字引起了我的注意。它提到了一個(gè)19世紀(jì)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，我霎時(shí)意識(shí)到這就是我該用的。我不停地工作，忘記下樓午飯，到下午三四點(diǎn)時(shí)我確信已經(jīng)證明了費(fèi)馬大定理，然后下樓。Nada很吃驚，以為我這時(shí)才回家，我告訴她，我解決了費(fèi)馬大定理。 　　最后的修正 　　NOVA：《紐約時(shí)報(bào)》在頭版以《終于歡呼“我發(fā)現(xiàn)了!”，久遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)之謎獲解》，但他們并不知道這個(gè)證明中有個(gè)錯(cuò)誤。 　　懷爾斯：那是個(gè)存在于關(guān)鍵推導(dǎo)中的錯(cuò)誤，但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我無法用簡單的語言描述，就算是數(shù)學(xué)家也需要研習(xí)兩三個(gè)月才能弄懂。 　　NOVA：后來你邀請(qǐng)劍橋的數(shù)學(xué)家理查德·泰勒來協(xié)助工作，并在1994年修正了這個(gè)最后的錯(cuò)誤。問題是，你的證明和費(fèi)馬的證明是同一個(gè)嗎？ 　　懷爾斯：不可能。這個(gè)證明有150頁長，用的是20世紀(jì)的方法，在費(fèi)馬時(shí)代還不存在。 　　NOVA：那就是說費(fèi)馬的最初證明還在某個(gè)未被發(fā)現(xiàn)的角落？ 　　懷爾斯：我不相信他有證明。我覺得他說已經(jīng)找到解答了是在哄自己。這個(gè)難題對(duì)業(yè)余愛好者如此特別在于它可能被17世紀(jì)的數(shù)學(xué)證明，盡管可能性極其微小。 　　NOVA：所以也許還有數(shù)學(xué)家追尋這最初的證明。你該怎么辦呢？ 　　懷爾斯：對(duì)我來說都一樣，費(fèi)馬是我童年的熱望。我會(huì)再試其他問題……證明了它我有一絲傷感，它已經(jīng)和我們一起這么久了……人們對(duì)我說“你把我的問題奪走了”，我能帶給他們其他的東西嗎？我感覺到有責(zé)任。我希望通過解決這個(gè)問題帶來的興奮可以激勵(lì)青年數(shù)學(xué)家們解決其他許許多多的難題。 　　iv 　　谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了橢圓曲線(代數(shù)幾何的對(duì)象)和模形式(某種數(shù)論中用到的周期性全純函數(shù))之間的重要聯(lián)系。雖然名字是從谷山-志村猜想而來,定理的證明是由安德魯·懷爾斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 　　若p是一個(gè)質(zhì)數(shù)而E是一個(gè)Q(有理數(shù)域)上的一個(gè)橢圓曲線，我們可以簡化定義E的方程模p;除了有限個(gè)p值，我們會(huì)得到有np個(gè)元素的有限域Fp上的一個(gè)橢圓曲線。然后考慮如下序列 　　ap = np ? p, 　　這是橢圓曲線E的重要的不變量。從傅里葉變換，每個(gè)模形式也會(huì)產(chǎn)生一個(gè)數(shù)列。一個(gè)其序列和從模形式得到的序列相同的橢圓曲線叫做模的。 谷山-志村定說: 　　"所有Q上的橢圓曲線是模的"。 　　該定理在1955年9月由谷山豐提出猜想。到1957年為止，他和志村五郎一起改進(jìn)了嚴(yán)格性。谷山于1958年自殺身亡。在1960年代，它和統(tǒng)一數(shù)學(xué)中的猜想Langlands綱領(lǐng)聯(lián)系了起來，并是關(guān)鍵的組成部分。猜想由André Weil于1970年代重新提起并得到推廣，Weil的名字有一段時(shí)間和它聯(lián)系在一起。盡管有明顯的用處，這個(gè)問題的深度在后來的發(fā)展之前并未被人們所感覺到。 　　在1980年代當(dāng)Gerhard Freay建議谷山-志村猜想(那時(shí)還是猜想)蘊(yùn)含著費(fèi)馬最后定理的時(shí)候，它吸引到了不少注意力。他通過試圖表明費(fèi)爾馬大定理的任何范例會(huì)導(dǎo)致一個(gè)非模的橢圓曲線來做到這一點(diǎn)。Ken Ribet后來證明了這一結(jié)果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor證明了谷山-志村定理的一個(gè)特殊情況(半穩(wěn)定橢圓曲線的情況)，這個(gè)特殊情況足以證明費(fèi)爾馬大定理。 　　完整的證明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他們?cè)赪iles的基礎(chǔ)上，一塊一塊的逐步證明剩下的情況直到全部完成。 　　數(shù)論中類似于費(fèi)爾馬最后定理得幾個(gè)定理可以從谷山-志村定理得到。例如:沒有立方可以寫成兩個(gè)互質(zhì)n次冪的和, n ≥ 3. (n = 3的情況已為歐拉所知) 　　在1996年三月，Wiles和Robert Langlands分享了沃爾夫獎(jiǎng)。雖然他們都沒有完成給予他們這個(gè)成就的定理的完整形式，他們還是被認(rèn)為對(duì)最終完成的證明有著決定性影響。